בתחילת המאה ה-20, הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל הציג לעולם בעיה שנראתה כמו משחק מילים פשוט, אך למעשה הסתירה פגם קטסטרופלי ביסודות המתמטיקה המודרנית.
הוא ידוע בשם “פרדוקס הספר” והוא מציג את המצב הבא:
בכפר מרוחק יש ספר אחד בלבד. במקום הזה יש חוק מוחלט ובלתי ניתן להפרה: הספר מגלח רק גברים שאינם מתגלחים בעצמם.
הבעיה מתעוררת כשאנחנו שואלים את עצמנו את השאלה האולטימטיבית: האם הספר מגלח את עצמו?
- – אם הספר מגלח את עצמו: הוא מפר את החוק, כי הכלל אומר שהוא יכול לגלח רק את מי שאינם מתגלחים בעצמם. לכן, הוא לא אמור לגלח את עצמו.
- – אם הספר אינו מגלח את עצמו: הוא מיד נופל לקבוצת הגברים שאינם מתגלחים בעצמם. ומכיוון שהחוק אומר שהספר מגלח את הקבוצה הזאת, אז הוא מחויב לגלח את עצמו.
זוהי לולאה אינסופית. אם הוא עושה את זה, הוא לא יכול לעשות את זה; ואם הוא לא עושה את זה, הוא חייב לעשות את זה. המוח שלך עכשיו קרס.
מהי התשובה האמיתית לבעיה?
במשך שנים, אנשים ניסו למצוא פרצות בסיפור: “שהספר היה אישה”, “שהספר היה קירח ולא היה לו זקן”, או “שספר מכפר אחר עבר שם במקרה”. אבל בלוגיקה טהורה, התשובות האלה הן רמאות.
התשובה המדעית והמתמטית האמיתית לפרדוקס פשוטה ככל שהיא הרסנית: הספר אינו קיים. זוהי אי-אפשרות לוגית.
ראסל המציא את הסיפור הזה כדי להדגים של“תורת הקבוצות” שבה השתמשו המתמטיקאים של זמנו היה פגם חמור. הוא הראה שאפשר לנסח כלל שנשמע הגיוני לחלוטין על הנייר, אבל כשמנסים ליישם אותו במציאות, הוא הורס את עצמו.
הפרדוקס נפתר כשמקבלים שהתנאי שמגדיר את הספר הוא סתירתי; לכן, קיומה של דמות שמקיימת את החוק הזה הוא בלתי אפשרי מבחינה מתמטית.
הודות לכאב הראש הזה, מדענים נאלצו לכתוב מחדש את כללי המתמטיקה המודרנית כדי למנוע מ“חורים שחורים של לוגיקה” כאלה להתרחש שוב.